コラッツ予想について
.31 2023/02/16 成清 愼
概 要
本ドキュメントは
は全単射である。…（1）と
により
。
（全単射の写像からなる順序対の片方が
(…) に含まれ、他方が含まれないときこれを
(…) へ移項していけば常に (…)
であって、
という論理です。
以上の操作によって、奇数なら3倍して1を足す、偶数なら2で割るという演算を有限回繰り返せばすべての自然数は1となるという
コラッツ予想の題意の成否の検証を試みようとするものです。
定義1
: 全ての0を含む自然数全体の集合
: 全ての0を含まない自然数全体の集合
: 全ての0を含む整数全体の集合
に含まれて唯一存在する任意定数を表す。任意定数として集合の中で固定値を採るものして扱われるため集合表記の中の
変域指定は別途指定がなければこれを省略する場合がある。
例 
をわたる値をとりうる普通の変数を表す。この場合変域指定の 
, 
: 
: 
: 
：
：
：
命題1-1
：
証明1-1
全ての0を含まない自然数は2 で割り切れる限り2 で割り続けていけば必ず割り切れなくなって奇数となるから
命題1-2
:
に等しい。
証明1-2
自明である。
命題1-3
:
に等しい。
証明1-3
∴ 
命題1-4
は全単射である。
証明1-4
∴
は全単射である。
命題1-5
証明1-5
∴
命題1-6
：
証明1-6
∴
∴
命題1-7
集合と相等しい。
証明1-7
定義より 
∴ 
: 
∴
{
：
=
∴
∵
: 
命題1-3
:
は全ての正の奇数の集合 
に等しい。
により
∴
集合と相等しい。
命題1-8
： 
等しくない。
証明1-8
:
∴
∴
∴
以上により
…②
∴
命題1-9-1
： 
：
は全単射である。
証明1-9-1
証明1-8…②
…②
により
：
：
は全単射である。
命題1-9-2
は全単射である。
証明1-9-2
∴
}
}
=
}
}
は全単射である。
命題1-10
:
は
証明1-10
命題1-8
によって
:
は
命題1-11
: 
証明1-11
命題1-10
:
は
と
命題1-8
：
によって
: 
定義-2
, 
：
：
として定義する。
：
∧
=
⇒
：
=
：
以上一連の集合演算ほかの操作を
略して ：
として定義する。
：
,
：
：
：
としてそれぞれ再定義する。以上一連の集合演算ほかの操作を
略して 
として定義する。
：
：
,
命題2-1
：
。
：
証明2-1
： 
命題1-1（再掲）
：
：
∴ 
：
一意に定まる
命題1-9-1
：
：
は全単射である。
：
一意に定まる
∴
：
命題1-8
：
等しくない。
と
∴
：
∴
：
との和集合として、
として、この順番にそれぞれ再定義する。
以上の操作の後、
の以降同様の操作を
=
となるまで継続して実行すれば
に等しく
命題1-9-2
は全単射である。
によって
，
までの
全単射 
による連続写像のみで構成されているから、
：
。
：
命題2-2
証明2-2
⇒
：
∵ 
命題1-9-1
：
：
は全単射である。
命題1-10
:
は
によって
：
このとき 
命題2-1
：
：
命題1-11
:
∴
：
が
に含まれてあり
∵
命題1-9-1
：
：
は全単射である。
}
命題2-1
：
命題1-11
:
によって
もし
命題1-9-1
：
：
は全単射である。
と矛盾する。したがって
：
補題3-0 （命題2-2
別解） をご参照下さい。
,
として、以降
：(
すべての 
補題3-0 （命題2-2別解）
証明3-0
常に
∩
補題3-1-1
証明3-1-1
1,
のとき
1, 
のとき
∴ 
∴ 
∴
∴
補題3-1-2
証明3-1-2
補題3-2-1
証明3-2-1
1, 
のとき
のとき
(
)
∴
補題3-2-2
証明3-2-2
のとき
のとき
のとき
∴
補題3-2-3
証明3-2-3
補題3-2-1 より
∴
補題3-2-2 より
∴
∴
∴
補題3-1-1より
補題3-2-2より
例：
3-2-2
3-2-2
補題 3-1-2より
補題 3-2-1より
例：
3-1-2
3-2-1
補題3-1-1より
補題 3-2-3より
例：
補題3-1-1
補題3-2-3
補題 3-1-2より
補題 3-2-3より
例：
補題3-1-2
補題3-2-3
参考資料： http://www5b.biglobe.ne.jp/~simomac/uindou.htm
http://toretate.fc2web.com/toryo/030517/030517.html
http://simomath.blog.fc2.com/blog-entry-157.html
http://syarekke.blog70.fc2.com/blog-category-38.html
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